LA PARABOLA
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que la distancia de cualquier punto dentro de ella a una recta fija situada en el plano, llamada directriz y a un punto fijo fuera de la directriz y de la parábola, denominado foco, serán iguales.
El punto V, punto medio del segmento DF, esta, por definición sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta, tal como GG', que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda; en particular, una cuerda que pasa por el foco como HH', se llama cuerda focal. La cuerda focal BB' perpendicular al eje se llama lado recto.
Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.
Veremos que la ecuación de la parábola toma su forma mas simple cuando su vértice esta en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados. Ahora consideremos la parábola cuyo eje esta en el origen y su eje coincide con el eje X. Entonces el foco F esta sobre el eje X; sean (p,0) sus coordenadas. Por definición de la parábola, la ecuación de la directriz D es X=-p . Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola. Por P tracemos el segmento PA perpendicular a D. Entonces por definición de la parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica. |FP|=|PA|
CASO HORIZONTAL
Lo anterior es la deducción de la ecuación de una parábola cuyo eje coincide con el eje X y su vértice esta en el origen. La manera de obtener la ecuación de una parábola cuyo eje esta en el eje Y es igual, siempre y cuando ésta también tenga su vértice en el origen.
"Teniendo en cuenta que las coordenadas del foco cambian, ya que ahora este se encuentra en el eje Y", su ecuacion sera la siguiente:
CASO VERTICAL
Para el caso en el cual la parábola no tenga su vértice en el origen, se agregaran mas pasos para obtener su ecuación, pero la manera de hacerlo sera la misma, ya que la parábola siempre cumplirá con las mismas condiciones geométricas.
CASO HORIZONTAL
CASO VERTICAL
CONCAVIDAD
Para valores de Y reales y diferentes de cero, p y X deben ser del mismo signo. Según esto, podemos considerar dos casos: p>0 y p<0. Si p>0, deben excluirse todos los valores negativos de X y todo el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún valor positivo de X, y como Y puede tomar todos los valores reales, el lugar geométrico de y2=4px es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X, y se dice que la parábola abre hacia la derecha.
Ahora si p<0, todos los valores positivos de X deben excluirse y todo el lugar geométrico aparece a la izquierda del eje Y, en este caso se dice que la parábola se habré hacia la izquierda.
